Ösp Eldjárn á rætur sínar að rekja norður í Svarfaðardal. Hún hóf snemma að syngja og var farin að koma fram með foreldrum sínum snemma á unglingsárum. Árið 2009 stofnaði hún ásamt vinum sínum alþýðu og suðurríkja hljómsveitina Brother Grass sem átti góðu fylgi að fagna.

 

Árið 2011 flutti Ösp til London þar sem hún stundaði tónlistarnám í LCCM og ICMP.  Um það leyti fór Ösp að semja sín eigin lög og texta. Hún gaf út sína fyrstu sóló plötu, Tales from a poplar tree, árið 2017 og hlaut  hún tilnefningu til íslensku tónlistarverðlaunanna. Ösp hefur komið fram víða um Bretland og má þar nefna Cambridge Folk Festival, Festival No6 í Wales og Unamplifire í London.

 

Ösp hefur starfað sem söngkona og tónlistarkennari og er, auk sóló ferilsins, meðlimur í bresk-íslensku hljómsveitinni Hrím, sem kom m.a fram á Iceland Airwaves árið 2019. Hljómsveitin hefur nú gefið frá sér 5 lög og eru fleiri væntanleg. Hún er einnig í  hljómsveitinni Blood Harmony, ásamt bróður hennar, gítarleikaranum Erni Eldjárn og systur þeirra Björk Eldjárn. Þau hafa nú þegar gefið út 4 lög og eru að vinna að LP plötu.

 

Ösp var valin af Útón til að vera fulltrúi Íslands í alþjóðlega samstarfsverkefninu Global Music Match 2021.